随机化、平方和与四项式及更一般多项式的更快实根计数

设 $f$ 是一个次数为 $D$ 且恰好包含 4 个单项式的实系数一元多项式。我们提出了一种算法，其平均复杂度（相对于稳定对数均匀测度）为 $\log D$ 的多项式，用于计算 $f$ 的实根个数。此前最好的算法复杂度为 $D$ 的超线性。我们还讨论了与平方和及 $A$-判别式的联系，包括将正定稀疏多项式表示为少数稀疏多项式的平方和时的显式障碍。我们的关键工具是引入了可高效计算的室锥（chamber cones），即系数空间中的有界区域，在该区域内 $f$ 的实根个数可以轻松计算。我们的理论大部分可推广到 $n$ 元 $(n+3)$-项式。