具有整数系数的任意多项式根的符号计算
综合数学
2007-05-23 v1
摘要
任意 m 次且具有整数系数的多项式的根,可通过对由 2m 个互异符号构成的序列进行操作并计数序列中不同符号来计算。该方法仅需“原始”操作如序列替换与符号计数。无需使用乘法、除法、对数等“高级”运算。此方法可实现为仅用直尺、圆规和 2m 种不同颜色的笔以任意精度作多项式根的几何构造。特别地,古代的“倍立方”问题可由上述构造渐近求解。这种可倍立方的方法(尽管需无穷步)可能最接近于仅用直尺和圆规在有限步内作图的原问题。此外,对有理数域上任意 m 次多项式,可联系一个生成整数序列的 m 项递推关系。若以与该多项式相关联的一个矩阵特殊地选取这 m 个序列各自的 m 个初始项,则可得到一组 m 个这样的序列,它们共同展现出与该多项式根相关的有趣性质。仅需计算这些整数序列中的两个即可获得绝对值最大的实根。由于该方法仅涉及整数,它比使用浮点运算的传统方法更快。
引用
@article{arxiv.math/0001144,
title = {Symbolic computation of the roots of any polynomial with integer coefficients},
author = {Ashok Kumar Mittal and Ashok Kumar Gupta},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0001144},
year = {2007}
}
备注
10 pages, no figures