关于 Khovanskii 提取多项式根的矩阵方法的一些观察

本文中,我们应用一个 $3\times 3$ 矩阵的 $n$ 次幂公式(此前由作者求得)来研究 Khovanskii 求正整数立方根的一种过程。对每正整数 $\alpha$,我们展示如何构造某些整数序列族,使得涉及每族中相邻项之比的某个有理表达式趋于 $\alpha^{1/3}$。我们还展示了如何选择自由参数的最优值以获得最大收敛速度。我们将同样源于 Khovanskii 的类似方法应用于更一般的一类三次方程,并对每个此类三次方程获得收敛到该三次方程实根的有理数序列。我们证明了 Khovanskii 求正整数 $m$ 次($m \geq 4$)根的方法在自由参数满足一个非常简单条件时有效。最后,我们简要考虑了 Khovanskii 另一种同样涉及 $m \times m$ 矩阵、用于逼近 $m$ 次任意多项式根的过程。