关于初等对称多项式之和的凹性

我们引入了一个关于初等对称多项式 $\sigma_k$ 的新问题，其源于某些修正引力理论的限制方程。对于哪些系数，使得 $\sigma_k$ ($0 \leq k \leq p$) 的线性组合是 $1/p$-凹的？我们建立了 $1/p$-凹性与基于这些系数构造的某些多项式的实根性之间的联系。我们猜想：若该线性组合在正对角线上的限制是一个实根多项式，则该线性组合是 $1/p$-凹的。利用双曲多项式理论，我们表明这将由一个简短的代数命题推出：若次数为 $n$ 的多项式 $P$ 与 $Q$ 均为实根的，则 $\sum_{k=0}^n P^{(k)}Q^{(n-k)}$ 也是实根的。这一点尚未被证明。我们更一般地猜想全局 $1/p$-凹性等价于正对角线上的 $1/p$-凹性。我们对 $p=2$ 证明了我们所有的猜测。进一步的发展之路已经开启。