Gamma 多项式的 log-concavity 保存问题

每个以 $n/2$ 为对称中心的对称多项式 $h(x)$ 可以表示为基 $x^i(1+x)^{n-2i}$ 中线性组合的形式。我们记作 $\gamma_h(x)$ 的 $\gamma$ 多项式记录了这种线性组合的系数。二十年前，Br"and\'en 和 Gal 独立证明，如果 $\gamma_h(x)$ 的根全为非正实数，则 $h(x)$ 也是如此。近期来，Br"and\'en、Ferroni 和 Jochemko 利用 Lorentz 多项式证明，如果 $\gamma_h(x)$ 是超 log-concave，则 $h(x)$ 也是如此，并提出了一个问题：是否可以为常规的 log-concavity 性质类似地进行证明。本文旨在证明 Br"and\'en、Ferroni 和 Jochemko 提出的问题的答案为肯定。证明的一个关键要素是我们通过路径计数论证的一个关于二项式数的不等式。