关于某些线性化多项式根的个数

线性化多项式出现在许多不同情境中，如秩度量码、密码学和线性集，主要问题是根据其系数刻画根的个数。此类结果已在[7,10,24]中给出。本文对如下形式的线性化多项式$$ax+b_0x^{\sigma}+b_1x^{\sigma q^n}+b_2x^{\sigma q^{2n}}+\ldots+b_{t-1}x^{\sigma q^{n(t-1)}} \in \mathbb{F}_{q^{nt}}[x],$$给出根个数的界与刻画，其中$\sigma$是伽罗瓦群$\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{q^n}\colon\mathbb{F}_q)$的生成元。同时，我们直接从这类多项式的系数刻画其根的个数，所处理的矩阵远小于先前论文中使用的相对Dickson矩阵与伴随矩阵。此外，我们通过求一个$q^n$-多项式的根，给出显式求出此类多项式根的方法。最后，作为上述结果的应用，我们给出射影直线上一点集具有小可能权值谱的线性集族，包含了大多数已知的散布线性集族。特别地，我们仔细研究了[9]中给出的$\mathrm{PG}(1,q^6)$中的线性集。