关于多项式非实根的若干注记

设 $f \in { \mathbb R} ( t) [x]$ 由 $f(t, x) = x^n + t \cdot g(x)$ 给出，且 $\beta_1 < \dots < \beta_m$ 为 $f(t, x)$ 关于 $x$ 的判别式 $\Delta_{(f, x)} (t)$ 的互异实根。设 $\gamma$ 为 $g(x)=\sum_{k=0}^s t_{s-k} x^{s-k}$ 的实根个数。对任意 $\xi > | \beta_m |$，若 $n-s$ 为奇数，则 $f(\xi, x)$ 的实根个数为 $\gamma+1$；若 $n-s$ 为偶数，则 $f(\xi, x)$ 的实根个数为 $\gamma$（当 $t_s>0$ 时）或 $\gamma+2$（当 $t_s < 0$ 时）。上述结果的一个特例是构造一族在 $\mathbb Q$ 上可约的全复多项式。