多项式根的最优Sobolev正则性

我们研究系数光滑依赖于参数的复一元多项式的根的正则性。我们证明，对于次数为 $n$ 的首一多项式的 $C^{n-1,1}$-曲线，其根的任何连续选取关于系数一致地是局部绝对连续的，且具有局部 $p$-可积导数，其中每个 $1 \le p < n/(n-1)$。该结果是最优的：通常，次数为 $n$ 的首一多项式的光滑曲线的根的导数不是局部 $n/(n-1)$-可积的，并且如果系数仅属于类 $C^{n-1,\alpha}$（$\alpha <1$），则根可能具有局部无界变差。我们还证明了 Ghisi 和 Gobbino 的高阶 Glaeser 不等式的一个推广。我们给出了主要结果的三个应用：拟微分方程组的局部可解性、到有限群表示的轨道空间中的映射的提升定理，以及多值函数属于 Almgren 意义上的 Sobolev 类 $W^{1,p}$ 的一个充分条件。