Bourgain-Brezis-Mironescu 域

Bourgain等人(2001)证明了对 $p>1$ 和光滑有界域 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$，\begin{equation*} \lim\limits_{s\to1}(1-s)\iint \limits_{\Omega \times \Omega}\frac{\lvert f(x)-f(y) \rvert^p}{\lvert x-y \rvert^{N+sp}}dx dy=\kappa \int \limits_{\Omega}\lvert \nabla f(x) \rvert^p dx \end{equation*} 对所有 $f\in L^p(\Omega)$ 成立。这仅通过 $W^{s,p}(\Omega)$ 半范数给出了 $W^{1,p}(\Omega)$ 的一个刻画。对 $p=1$ 情形，D\'avila(2002)证明当 $\Omega$ 是具有Lipschitz边界的有界域时，\begin{equation*} \lim\limits_{s\to1}(1-s)\iint \limits_{\Omega \times \Omega}\frac{\lvert f(x)-f(y) \rvert}{\lvert x-y \rvert^{N+s}}dx dy=\kappa [f]_{BV(\Omega)} \end{equation*} 对所有 $f\in L^1(\Omega)$ 成立。这用 $W^{s,1}(\Omega)$ 半范数刻画了 $BV(\Omega)$。在本文中，我们将第一个结果推广并将第二个结果部分推广到延拓域。