函数 bounded variation 空间中的边界 Hardy 不等式

经典的边界 Hardy 不等式可追溯至 1988 年，若 $1 < p < \infty$，$\Omega$ 为有界 Lipschitz 域，则对所有 $u \in C^{\infty}_{c}(\Omega)$，都有 $$\int_{\Omega} \frac{|u(x)|^{p}}{\delta_{\Omega}(x)^{p}} dx \leq C\int_{\Omega} |\nabla u(x)|^{p}dx,$$ 其中 $\delta_\Omega(x)$ 为 $\Omega^c$ 到 $x$ 的距离函数。本文针对 $p=1$ 案例长期悬而未决的问题，在函数 bounded variation 的空间中建立适当的边界 Hardy 不等式。我们首先在分数 Sobolev 空间 $W^{s,1}(\Omega)$ 上建立适当的不等式，然后 Brezis、Bourgain 和 Mironescu 对分数 Sobolev 空间在 $s\rightarrow 1^{-}$ 中的极限行为结果在证明中发挥重要作用。此外，我们还推导出 $p=1$ 情况下的无穷级数 Hardy 不等式。