哈代不等式与曲率

考虑一个形如 $$\int_{\tilde{\Omega}} |\nabla f({\bf{x}})|^p d {\bf{x}} \ge (\frac{p-1}{p})^p \int_{\tilde{\Omega}} \{1 + a(\delta, \partial \tilde{\Omega})(\x)\}\frac{|f({\bf{x}})|^p}{\delta({\bf{x}})^p} d{\bf{x}},$$ 对所有 $f \in C_0^{\infty}({\tilde{\Omega}})$ 成立的哈代不等式，其中 $p\in (1,\infty)$，${\tilde{\Omega}}$ 可以是 $\Omega$ 或 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个区域，$n \ge 2$，而 $\delta({\bf{x}})$ 是从 ${\bf{x}} \in {\tilde{\Omega}}$ 到边界 $\partial {\tilde{\Omega}}$ 的距离。主要重点在于确定 $a(\delta, \partial {\tilde{\Omega}})$ 对 $\partial {\tilde{\Omega}}$ 几何性质的依赖性。此外，还针对 $\mathbb{R}^2$ 中的任意双连通区域 $\Omega$，利用 $\Omega$ 的均匀化（即 $\Omega$ 到圆环的任何共形单叶映射）建立了一个哈代不等式。