关于均值的积分处理及其 Hardy 性质

著名的 Hardy 不等式可写为如下形式：$$\int_0^\infty \mathcal{P}_p \big(f|_{[0,x]}\big)dx \le (1-p)^{-1/p} \int_0^\infty f(x)\:dx \qquad \text{ for }p\in(0,1)\text{ and }f \in L^1\text{ with }f\ge0,$$ 其中 $\mathcal{P}_p$ 表示 $p$ 次幂均值。人们可以询问将该性质推广到其他族（其锐常数依赖于该均值）的可能性。通过改造 Riemann 积分的概念，我们为每个加权均值定义下积分均值与上积分均值。我们证明 $I$ 上每个在其变量与权值上连续、对称、单调且 $\mathbb{R}$-加权的均值至多有一个到积分均值的连续延拓。此外该延拓保持 Hardy 常数。这一结果使得上述不等式可推广到齐次、凹的偏差均值族。