关于加权 Hardy 常数对均值的性质

对于定义在 $\mathbb{R}_+$ 子区间上的给定加权均值 $\mathscr{M}$ 与权重序列 $\lambda=(\lambda_n)_{n=1}^\infty$，我们定义 Hardy 常数 $\mathscr H(\lambda)$ 为最小的扩展实数，使得 $$\sum_{n=1}^\infty \lambda_n \mathscr{M}\big((x_1,\dots,x_n),(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\big) \le \mathscr H(\lambda) \cdot \sum_{n=1}^\infty \lambda_n x_n \text{ 对所有 }x \in \ell^1(\lambda) \text{ 成立}。$$ 本札记旨在对映射 $\mathscr H$ 作全面研究。例如我们证明它在逐点拓扑下是下半连续的。此外我们表明，只要 $\mathscr{M}$ 是关于其权重单调且 Jensen 凹的连续均值，则 $\mathscr H$ 关于向量的分割是单调的。最后我们给出使等式 $\mathscr H(\lambda)=\sup \mathscr H$ 对每个对称且单调的均值成立的 $\lambda$ 的一些充分条件。