有限维Hilbert空间中的Hardy不等式

我们研究有限维空间$\mathbb{R}^n$与$\mathcal{H}_n:=\{f\,:\, \int_0^x f(t) dt =e^{-x/2}\,p(x)\ :\ p\in \mathcal{P}_n, p(0)=0\}$（其中$\mathcal{P}_n$为次数不超过$n$的实值代数多项式集合）中Hardy不等式$$\sum_{k=1}^{n}\Big(\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}a_j\Big)^2\leq d_n\,\sum_{k=1}^{n}a_k^2, \qquad (a_1,\ldots,a_n) \in \mathbb{R}^n$$与$$\int_{0}^{\infty}\Bigg(\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}f(t)\,dt\Bigg)^2 dx \leq c_n \int_{0}^{\infty} f^2(x)\,dx, \ \ f\in \mathcal{H}_n,$$的最小可能常数$d_n$与$c_n$的行为。常数$d_n$与$c_n$被识别为某些Jacobi矩阵的最小特征值，并建立了形如$$4-\frac{c}{\ln n}< d_n, c_n<4-\frac{c}{\ln^2 n}\,,\qquad c>0\,$$的$d_n$与$c_n$双侧估计。