多重极Hardy不等式与极点间的相互作用

在本文中，我们陈述了加权 Hardy 不等式 \begin{equation*} c\int_{{\mathbb R}^N}\sum_{i=1}^n \frac{\varphi^2 }{|x-a_i|^2}\, \mu(x)dx\le \int_{{\mathbb R}^N} |\nabla\varphi|^2 \, \mu(x)dx +k \int_{\mathbb{R}^N}\varphi^2 \, \mu(x)dx \end{equation*} 对任意加权 Sobolev 空间中的 $\varphi$ 成立，其中 $c\in]0,c_o[$，$c_o=c_o(N,\mu)$ 为最优常数，$a_1,\dots,a_n\in \mathbb{R}^N$，$k$ 为依赖于 $\mu$ 的常数。我们展示了 $c$ 与到单极点的接近程度之间的关系。为此，我们详细分析了为获得该不等式所需克服的困难。