一类加权Hardy不等式及其在演化问题中的应用

我们给出如下加权Hardy不等式 \begin{equation*} c_{o, \mu}\int_{{\R}^N}\frac{\varphi^2 }{|x|^2}\, d\mu\le \int_{{\R}^N} |\nabla\varphi|^2 \, d\mu + K \int_{\R^N}\varphi^2 \, d\mu \quad \forall\, \varphi \in H_\mu^1 %\qquad c\le c_\mu, \end{equation*} 其背景为受逆平方势扰动及相关的演化问题研究的Kolmogorov算子 \begin{equation*} Lu=\Delta u+\frac{\nabla \mu}{\mu}\cdot\nabla u \end{equation*} 的研究。漂移项中的函数$\mu$是$\R^N$上的概率密度。我们证明了常数$c_{o, \mu}$的最优性，并依据推广至Kolmogorov算子的Cabr\'e-Martel方法\cite{CabreMartel}给出了存在与不存在结果。