双 Kolmogorov 型算子与加权 Rellich 不等式

本文考虑 $L^2(\mathbb R^N,d\mu)$ 上的对称 Kolmogorov 算子 $L=\Delta +\frac{\nabla \mu}{\mu}\cdot \nabla$,其中 $\mu$ 是 $\mathbb R^N$ 上概率测度的密度。在关于 $\mu$ 的一般条件下,我们首先证明具有最优常数的加权 Rellich 不等式,并推得分别以 $H^2(\mathbb R^N,d\mu)$ 和 $H^4(\mathbb R^N,d\mu)$ 为定义域的算子 $L$ 与 $-L^2$ 在 $L^2(\mathbb R^N,d\mu)$ 上生成解析压缩半群。我们观察到 $d\mu$ 是由 $-L^2$ 生成的半群的唯一不变测度,并由此描述了该半群的渐近行为且获得若干局部正性性质。作为应用,我们研究了双 Ornstein-Uhlenbeck 算子及其在 $L^2(\mathbb R^N,d\mu)$ 上的半群。