Gru\v{s}in 型退化椭圆算子的分析

我们在 $L_2(\Ri^{n}\times\Ri^{m})$ 上分析散度形式的退化二阶椭圆算子 $H$。假设系数为实对称矩阵，且存在 $a_1,a_2>0$ 使得 $a_1H_\delta\geq H\geq a_2H_\delta$，其中 $$H_\delta=-{\nabla}_{x_1}\cdot(c_{\delta_1, \delta'_1}(x_1)\,\nabla_{x_1})-c_{\delta_2, \delta'_2}(x_1)\,\nabla_{x_2}^2 \;.$$ 此处 $x_1\in\Ri^n$，$x_2\in\Ri^m$，$c_{\delta_i, \delta'_i}$ 为正可测函数，满足当 $x\to0$ 时 $c_{\delta_i, \delta'_i}(x)$ 表现为 $|x|^{\delta_i}$，当 $x\to\infty$ 时表现为 $|x|^{\delta_i'}$，其中 $\delta_1,\delta_1'\in[0,1\rangle$ 且 $\delta_2,\delta_2'\geq0$。我们的主要结果表明，次马尔可夫半群 $S_t=e^{-tH}$ 是保守的，且其核 $K_t$ 满足界 $$0\leq K_t(x\,;y)\leq a\,(|B(x\,;t^{1/2})|\,|B(y\,;t^{1/2})|)^{-1/2}$$ 其中 $|B(x\,;r)|$ 表示以 $x$ 为中心、半径为 $r$ 的球 $B(x\,;r)$ 的体积，该半径是相对于与 $H$ 相关的黎曼距离度量的。证明依赖于对 $H$ 的详细次椭圆估计、黎曼距离及相应体积的精确刻画，以及利用有限传播速度的波动方程技术。我们讨论了这些界的进一步推论，并给出了明确示例，表明该核未必严格为正，也未必连续。