Poincaré 不等式的局限性

我们考察了 $L_2(\Ri^{n}\times\Ri^{m})$ 上散度形式的退化二阶椭圆算子 $H$ 的 Poincaré 不等式的有效性。假设系数为实对称矩阵，且对于某些 $a_1,a_2>0$ 满足 $a_1H_\delta\geq H\geq a_2H_\delta$，其中 $H_\delta$ 为广义 Gru\v{s}in 算子：$$H_\delta=-\nabla_{x_1}\,|x_1|^{(2\delta_1,2\delta_1')}\,\nabla_{x_1}-|x_1|^{(2\delta_2,2\delta_2')}\,\nabla_{x_2}^2 \;.$$ 此处 $x_1\in\Ri^n$，$x_2\in\Ri^m$，$\delta_1,\delta_1'\in[0,1\rangle$，$\delta_2,\delta_2'\geq0$，且当 $|x_1|\leq 1$ 时 $|x_1|^{(2\delta,2\delta')}=|x_1|^{2\delta}$，当 $|x_1|\geq 1$ 时 $|x_1|^{(2\delta,2\delta')}=|x_1|^{2\delta'}$。我们证明，若用对应于 $H$ 的黎曼几何来表述，当 $n\geq 2$，或 $n=1$ 且 $\delta_1\vee\delta_1'\in[0,1/2\rangle$ 时，Poincaré 不等式成立；但当 $n=1$ 且 $\delta_1\vee\delta_1'\in[1/2,1\rangle$ 时，该不等式失效。失效是由首项引起的。若 $\delta_1\in[1/2, 1\rangle$，这是局部退化 $|x_1|^{2\delta_1}$ 的效应；但若 $\delta_1\in[0, 1/2\rangle$ 且 $\delta_1'\in [1/2,1\rangle$，则是 $|x_1|^{2\delta_1'}$ 在无穷远处增长导致的效应。若 $n=1$ 且 $\delta_1\in[1/2, 1\rangle$，则由 $H$ 的 Friedrichs 延拓生成的半群 $S$ 非遍历。子空间 $x_1\geq 0$ 和 $x_1\leq 0$ 是 $S$ 不变的，且 Poincaré 不等式在这些子空间的每一个上均成立。然而，若 $n=1$，$\delta_1\in[0, 1/2\rangle$ 且 $\delta_1'\in [1/2,1\rangle$，则半群 $S$ 是遍历的，但 Poincaré 不等式仅在局部成立。最后，我们讨论了这些结果对半群 $S$ 核的影响。