涉及非散度型二阶椭圆算子的非线性 Gagliardo–Nirenberg 不等式

我们得到如下形式的不等式 $$\int_{\Omega}|\nabla u(x)|^2h(u(x))\,{\rm d} x\leq C\int_{\Omega} \left( \sqrt{ |P u(x)||{\cal T}_{H}(u(x))|}\right)^{2}h(u(x))\,{\rm d} x +\Theta,$$ 其中 $\Omega\subset \mathbf{R}^n$ 是有界 Lipschitz 域，$u\in W^{2,1}_{\rm loc}(\Omega)$ 非负，$P$ 是非散度型一致椭圆算子，${\cal T}_{H}(\cdot )$ 是单调 $C^1$ 函数 $H(\cdot)$ 的某种变换，而 $H(\cdot)$ 是权函数 $h(\cdot)$ 的原函数，$\Theta$ 是依赖于 $u$ 与 $\nabla u$ 边界值的边界项，这些不等式在某些附加假设下成立。我们的结果联系于概率与位势理论中的一些结果，例如 Douglas 公式的若干变体。