n 维强非线性插值不等式的某种变体

我们得到了不等式 $$\int_{\Omega}|\nabla u(x)|^ph(u(x))dx\leq C(n,p)\int_{\Omega} \left( \sqrt{ |\nabla^{(2)} u(x)||{\cal T}_{h,C}(u(x))|}\right)^{p}h(u(x))dx,$$ 其中 $\Omega\subseteq {\bf R}^n$ 且 $n\ge 2$，$u:\Omega\rightarrow {\bf R}$ 属于二阶 Sobolev 空间 $W^{2,1}_{loc}(\Omega)$ 的某个子集，$\nabla^{(2)} u$ 是 $u$ 的 Hessian 矩阵，${\cal T}_{h,C}(u)$ 是连续函数 $h(\cdot)$ 的某种变换。该不等式是一维类似不等式的推广，后者由第二作者和 Peszek 早先获得。