一个插值不等式及其在 Keller-Segel 模型中的应用

在本文中，我们首先证明了一个 Ehrling 型插值不等式，它是对著名的 Gagliardo-Nirenberg 不等式一个特殊情形的改进。然后我们将其应用于研究经典 Keller-Segel 系统 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{llc} u_t=\Delta u-\nabla\cdot(u \nabla v), \\[6pt] \displaystyle v_t=\Delta v-v+u, \end{array} \right. \end{equation} 该系统定义在具有光滑边界的有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$（$N\ge 2$）上。已知对于任意 $\delta>0$，如果 $\int_\Omega u^{\frac N2+\delta}(\cdot,t)$ 有界，则解是全局存在且有界的。这里我们证明在更弱的假设下同样的结论成立：$\{\int_\Omega u^\frac N2(\cdot,t)|~t\in(0,T_{\max})\}$ 的等度可积性可以防止爆破。