基于贝塞尔对的Hardy与Rellich不等式

本文针对有界连通区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上的一对函数 $(W(x),H(x))$ 建立了适当的刻画，使得如下Hardy不等式成立 \begin{equation*} \int_{\Omega} W(x) |\nabla u|_A^2 dx \geq \int_{\Omega} |\nabla d|^2_AH(x)|u|^2 dx, \,\,\, u \in C^{1}_0(\Omega), \end{equation*} 其中 $d(x)$ 是适当的拟范数（规范），对 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 有 $|\xi|^2_A = \langle A(x)\xi, \xi \rangle$，$A(x)$ 是定义在 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上的 $n\times n$ 对称一致正定矩阵。我们也给出了其 $L^p$ 类比。作为推论，我们给出了 $\mathbb{R}^n$ 上标准拉普拉斯算子、Baouendi-Grushin算子，以及Heisenberg群、Engel群和Cartan群上子拉普拉斯算子的例子。对于Rellich不等式，也获得了对函数对 $(W(x),H(x))$ 的此类刻画。这些结果回答了Ghoussoub-Moradifam \cite{GM_book} 的公开问题。