$H^2\cap H^{1}_{0}$ 上的最优加权 Hardy-Rellich 不等式

我们给出了在 $R^{n}$ ($n \geq 1$) 中半径为 $R$ 的球 $B$ 上，一对正径向函数 $V$ 和 $W$ 使得以下不等式成立的充分必要条件：\n\begin{equation*} \label{two} \hbox{$\int_{B}V(x)|\nabla u |^{2}dx \geq \int_{B} W(x) u^{2}dx+b\int_{\partial B}u^2 ds$ for all u $\in H^1(B)$,} \end{equation*}\n和\n\begin{equation*} \label{two} \hbox{$\int_{B}V(x)|\Delta u |^{2}dx \geq \int_{B} W(x)|\nabla u|^{2}dx+b\int_{\partial B}|\nabla u|^2 ds$ for all u $\in H^2(B)$.} \end{equation*}\n然后，我们给出了 $H^{2}\cap H^{1}_{0}$ 上各类最优加权 Hardy-Rellich 不等式。证明基于球谐函数分解。这些类型的不等式对于研究具有 Navier 边界条件的四阶椭圆方程以及二阶椭圆方程组非常重要。