有限区间与环状区域上 optimal power-weighted Birman-Hardy-Rellich 不等式

我们在有限区间上推导了 optimal power-weighted Hardy 不等式的积分形式，然后证明了其对应的微分形式。我们指出，后者不等式的最优常数与前者不同。此外，通过迭代这些不等式，我们在有限区间上导出 power-weighted Birman-Hardy-Rellich 类型不等式的序列积分形式，并随后证明了相应的微分形式序列。我们利用一维 Hardy 不等式的微分形式，推导出在环状区域（即球形壳域）上 optimal power-weighted Hardy 不等式的多维微分形式，并再次采用迭代程序推导出环状区域上 power-weighted 高阶 Hardy 不等式的 Birman-Hardy-Rellich 类型序列。当环状区域趋于 $\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$ 时，我们恢复了在 $\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$ 上 Rellich 类型不等式的已知结果。