半直线上的 $p$-Hardy-Rellich-Birman 不等式

经典离散 $p$-Hardy 不等式建立了序列与其离散导数 $\ell^{p}$ 范数之间的尖锐关系。本文将此不等式推广到任意整数阶导数 $\ell \geq 1$ 的离散导数，得到离散 $p$-Rellich ($\ell=2$) 和一般 $p$-Birman ($\ell \geq 3$) 不等式。作为证明的关键步骤，我们推导出一个带负指数的 Copson 不等式的变体，这可能独立具有意义。此外，我们展示了如何从离散版本中恢复连续 $p$-Birman 不等式，为该经典结果提供了另一种证明方法。所有获得的不等式中的常数均 shown to be optimal。