关于涉及径向导数的高阶 Poincaré 不等式及双曲空间上的 Hardy 改进

本文证明涉及径向导数的高阶 Poincaré 不等式，即\begin{equation*} \int_{\mathbb{H}^{N}} |\nabla_{r,\mathbb{H}^{N}}^{k} u|^2 \, {\rm d}v_{\mathbb{H}^{N}} \geq \bigg(\frac{N-1}{2}\bigg)^{2(k-l)} \int_{\mathbb{H}^{N}} |\nabla_{r,\mathbb{H}^{N}}^{l} u|^2 \, {\rm d}v_{\mathbb{H}^{N}} \ \ \text{ 对所有 } u\in H^k(\mathbb{H}^{N}) \end{equation*}成立，其中底层空间为 $N$ 维双曲空间 $\mathbb{H}^{N}$，$0\leq l<k$ 为整数，且常数 $\big(\frac{N-1}{2}\big)^{2(k-l)}$ 是最优的。此外，我们通过添加 Hardy 型余项对上述不等式进行改进，并讨论了某些常数的最优性。