Heisenberg 群上的对数 Sobolev、Hardy 与 Poincaré 不等式

本文首先在 Heisenberg 群的背景下证明若干具有显式常数的重要不等式。这包括分数与整数 Sobolev、Gagliardo-Nirenberg、（加权）Hardy-Sobolev、Nash 不等式及其对数形式。对于一阶 Sobolev 不等式，我们的常数恢复了 Jerison 和 Lee 的尖锐常数。值得注意的是，我们还建立了 Heisenberg 群上带半概率测度的 Gross 不等式的类似结果，该测度——如同欧氏情形中那样——允许推广到无穷维，特别地可视为无穷维 $\mathbb{H}^{\infty}$ 上的不等式。最后，我们针对前述半概率测度与 Haar 测度，均在 Heisenberg 群上证明了所谓的广义 Poincaré 不等式，同样具有显式常数。