柱面Hardy、Sobolev型及Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式与恒等式

本文讨论了改进Hardy、Sobolev型和Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式的柱面扩展，这些不等式具有尖锐常数及其恒等式，思路类似于Badiale-Tarantello[2]。在L^p空间中（p∈(1,∞)）获得恒等式，不要求实值函数。获得的恒等式为这些不等式提供了简单直接的理解，以及不存在非平凡极值解的证明。作为副产品，我们展示了带剩余项的扩展Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式，这些不等式暗示了经典Heisenberg-Pauli-Weyl不确定性原理的柱面扩展。此外，我们证明了带对数权重的L^p-Hardy型恒等式，这在特殊情况下可推出临界Hardy不等式。最后，我们也讨论了这些结果在齐次Lie群上的扩展。特别关注分层Lie群，此时函数不等式与亚拉斯利算子及相关hypoelliptic偏微分方程的性质紧密交织。所获结果即使在经典欧几里得情形下，对于参数范围和对任意齐次准范数的选择的随意性，亦已提供新的见解。