分层群上的几何对数Hardy不等式和Hardy-Poincaré不等式

我们发展了一种统一策略，在分层群的任意开集$M$上获得几何对数Hardy不等式，前提是该设定中Hardy不等式成立，其中所谓的“权重”被视为$M$上的任意可测非负函数。假设后者对某个开集和某个权重成立，我们还证明了一个不等式，它是Beckner引入的“广义Poincaré不等式”在添加权重后的扩展，这被称为“几何Hardy-Poincaré不等式”。当$M$是群的半空间且权重是到边界的距离函数时，以及当$M$是整个群（或群中的任意开集）时，上述不等式变得显式，此时权重是群第一层上的“水平范数”。对于第二种情况，我们证明了所得不等式的半高斯类似物，其中高斯测度相对于群的第一层考虑。将我们的结果应用于群是（阿贝尔）欧几里得空间的情况，我们通过添加权重推广了经典的概率Poincaré不等式。