剩余项与海森堡群上非局部索伯不等式的尖锐定量稳定性

本文研究了海森堡群上的如下非局部索伯不等式：\n\n\begin{equation}\label{eq:HLS} S_{HL}(Q,\mu) \left(\int_{\mathbb{H}^{n}}\int_{\mathbb{H}^{n}}\frac{|u(\xi)|^{Q^{\ast}_{\mu}}|u(\eta)|^{Q^{\ast}_{\mu}}{|\eta^{-1}\xi|^{\mu}}{d}\xi{d}\eta\right)^{\frac{1}{Q^{\ast}_{\mu}}}\leq \int_{\mathbb{H}^{n}}|\nabla_{\mathbb{H}}u|^{2}d\xi,\quad \forall \, u\in S^{1,2}(\mathbb{H}^{n}), \end{equation}\n\n其中 $Q=2n+2$ 为海森堡群 $\mathbb{H}^{n}$ 的齐次维数，$n\geq1$，$\mu\in(0,Q)$，$Q^{\ast}_{\mu}=\frac{2Q-\mu}{Q-2}$ 为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式以及海森堡群上 Folland-Stein-Sobolev 不等式中的上临界指数，$S_{HL}(Q,\mu)$ 为 \eqref{eq:HLS} 的尖锐常数，$S^{1,2}(\mathbb{H}^{n})$ 为 Folland-Stein-Sobolev 空间。%的非局部分索伯不等式。众所周知，除去平移和合适的尺度变换后，\n\n\begin{equation}\label{eq:abs} -\Delta_{\mathbb{H}} u=\left(\int_{\mathbb{H}^{n}}\frac{|u(\eta)| ^{Q^{\ast}_{\mu}}{|\eta^{-1}\xi|^{\mu}}{d}\eta\right)|u|^{Q_\mu^\ast-2}u,~~u\in S^{1,2}(\mathbb{H}^{n}) \end{equation}\n\n是相应最小化问题的欧拉拉格ange 方程。一方面，我们证明当 $Q\geq4$，$\mu\in (0,4]$ 时，不等式 \eqref{eq:HLS} 存在梯度型剩余项，从而推导出在有界域上以弱 $L^{\frac{Q}{Q-2}}$ 范数存在剩余项。另一方面，我们在 $Q=4$ 且 $\mu\in (2,4)$ 时，建立了方程 \eqref{eq:abs} 在多气泡情形下的临界点的定量稳定性。