Heisenberg 群中的函数型 Loomis-Whitney 不等式及有限域上的投影定理

我们在有限 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n(\mathbb{F}_q)$ 中建立函数型 Loomis-Whitney 不等式。对于 $n=1$，我们确定了 Heisenberg Loomis-Whitney 不等式的尖锐指数区域 $(u_1,u_2)$，即满足\n$$\frac{1}{q^3}\sum_{(x,t)\in \mathbb{H}^1(\mathbb{F}_q)} f_1(\pi_1(x,t))\,f_2(\pi_2(x,t)) \;\lesssim\; \|f_1\|_{L^{u_1}(\mathbb{F}_q^2,dx)}\|f_2\|_{L^{u_2}(\mathbb{F}_q^2,dx)}$$\n恒定地成立,也就是说\n$$\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}\le 2 \quad\text{且}\quad \frac{2}{u_1}+\frac{1}{u_2}\le 2,$$\n其中包括端点估计 $L^{\frac{3}{2}}\times L^{\frac{3}{2}}\to L^1$。对于一般的 $n$，我们证明了在端点指数 $u=\frac{n(2n+1)}{n+1}$ 处的对称多线性估计,通过对 $n$ 的归纳法,利用 Heisenberg 纤维结构和多项式插值方案。具体到指示函数,可得对每个有限子集 $K\subset \mathbb{H}^n(\mathbb{F}_q)$ 的 sharp Loomis-Whitney 类型集合不等式,其界定了 $K$ 的大小与其 $2n$ 个 Heisenberg 投影 $\{\pi_j(K)\}_{j=1}^{2n}$ 的大小之间的关系,特别是\n$$\max_{1\le j\le 2n} |\pi_j(K)| \;\gtrsim_n\; |K|^{\frac{2n+1}{2(n+1)}}\,q^{-\frac{1}{2(n+1)}}.$$\n该结果在绝对常数下是最优的。此外,当 $n=1$ 且 $|K|>q$ 时,我们通过 Vinh 的点-线相遇定理获得更强的结论。我们还讨论了与 Bhowmik、Iosevich、Koh 和 Pham (2025) 研究的有限域上多线性形式/算子的有界性问题,以及 Chen (2018) 研究的 $\mathbb{F}_q^{2n+1}$ 中的正交投影/覆盖问题之间的联系。