海森堡群中的 Loomis-Whitney 不等式

本注记关注海森堡群 $\mathbb{H}^n$ 中的 Loomis-Whitney 不等式：$$|K| \lesssim \prod_{j=1}^{2n}|\pi_j(K)|^{\frac{n+1}{n(2n+1)}}, \qquad K \subset \mathbb{H}^n.$$ 此处 $\pi_{j}$（$j=1,\ldots,2n$）分别为到超平面 $\{x_j=0\}$ 的垂直海森堡投影，而 $|\cdot|$ 指 $\mathbb{H}^n$ 或其中某一超平面上的自然 Haar 测度。第一个海森堡群 $\mathbb{H}^1$ 中的 Loomis-Whitney 不等式是 $\mathbb{R}^2$ 中标准 Radon 变换已知 $L^p$ 改进性质的直接推论。本注记中，我们展示如何通过初等归纳论证由 $\mathbb{H}^1$ 中的不等式推导出高维海森堡群中的 Loomis-Whitney 不等式。同一方法结合多线性插值，亦给出如下强类型估计：$$\int_{\mathbb{H}^n} \prod_{j=1}^{2n} f_j(\pi_j(p))\;dp\lesssim \prod_{j=1}^{2n} \|f_j\|_{\frac{n(2n+1)}{n+1}}$$ 对所有非负可测函数 $f_1,\ldots,f_{2n}$（定义于 $\mathbb{R}^{2n}$ 上）成立。这些不等式及其几何推论因而最终基于平面几何。在 $\mathbb{H}^n$ 中 Loomis-Whitney 不等式的应用方面，我们提及如下 $\mathbb{H}^n$ 中经典几何 Sobolev 不等式的更锐利版本：$$\|u\|_{\frac{2n+2}{2n+1}} \lesssim \prod_{j=1}^{2n}\|X_ju\|^{\frac{1}{2n}}, \qquad u \in BV(\mathbb{H}^n),$$ 其中 $X_j$（$j=1,\ldots,2n$）为 $\mathbb{H}^n$ 中的标准水平向量场。