基于凸性的 Heisenberg 群上的几何 Hardy 不等式

我们证明了 Heisenberg 群 ${\mathbb{H}}^n$（$n\geq 1$）中区域到边界距离的 $L^p$-Hardy 不等式。我们的结果基于特定的几何条件。该条件首先在某些非凸区域的欧几里得距离下实现。然后，当区域是半空间或凸多面体时，在与水平拉普拉斯基本解相关的规范拟范数定义的距离下实现。最后，它在 ${\mathbb{H}}^n$ 的半空间和任意有界凸区域上的 Carnot-Carath\'eodory 距离下实现。在所有情况下，均获得了常数 $((p-1)/p)^p$。在二步分层李群的更一般背景下，我们研究了到边界的欧几里得距离的超调和性与弱 $H$-凹性，从而获得了凸区域上 $L^p$-Hardy 不等式的一个证明。