关于 $\mathbb{R}^n$ 中区域的加权 $L^p$-Hardy 不等式

我们考虑涉及 $n$ 维欧氏空间中具有非空边界的区域到其边界距离的加权 $L^p$-Hardy 不等式。利用临界性理论,我们给出 F.~G.~Avkhadiev (2006) 定理的如下结果的另一种证明:设 $\Omega \subsetneqq \mathbb{R}^n$,$n\geq 2$ 为任意区域,$1<p<\infty$ 且 $\alpha + p>n$。令 $\mathrm{d}_\Omega(x) =\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$ 表示点 $x\in \Omega$ 到 $\partial \Omega$ 的距离。则如下 Hardy 型不等式成立 $$\int_{\Omega }\frac{|\nabla \varphi |^p}{\mathrm{d}_\Omega^{\alpha}}\,\mathrm{d}x \geq \left( \frac{\alpha +p-n}{p}\right)^p \int_{\Omega }\frac{|\varphi|^p}{\mathrm{d}_\Omega^{p+\alpha}}\,\mathrm{d}x \qquad \forall \varphi\in C^{\infty }_c(\Omega),$$ 且下界常数 $\left( \frac{\alpha +p-n}{p}\right)^p$ 是最优的。