黎曼流形上改进的 Hardy 不等式

我们研究黎曼流形 $(M,g)$ 中区域 $\Omega$ 上如下形式的 Hardy 型不等式：$$\int{\Omega}|\nabla u|_g^p\rho^\alpha dV_g \geq \left(\frac{|p-1+\beta|}{p}\right)^p\int{\Omega}\frac{|u|^p|\nabla \rho|_g^p}{|\rho|^p}\rho^\alpha dV_g +\int{\Omega} V|u|^p\rho^\alpha dV_g, \quad \forall\ u\in C_c^\infty (\Omega).$$ 我们给出了上述不等式成立时 $p, \alpha, \beta,\rho$ 与 $V$ 的充分条件。这推广了先前著名的黎曼流形上 Hardy 不等式的工作。该泛函框架涵盖了广泛的具体情形，我们简要讨论如下：例如带 $p<N$ 的 $\mathbb{R}^N$、带 $p\geq N$ 的 $\mathbb{R}^N\setminus \{0\}$、$\mathbb{H}^N$ 等。