海森堡群中的平面关联与几何不等式

我们证明，若$P,\mathcal{L}$是$\mathbb{R}^{2}$中有限个$\delta$-分离的点集与线集，则$P$与$\mathcal{L}$之间的$\delta$-关联数不大于常数乘以$$|P|^{2/3}|\mathcal{L}|^{2/3} \cdot \delta^{-1/3}.$$我们应用该界得到海森堡群中如下Loomis-Whitney不等式的变体：$$|K| \lesssim |\pi_{x}(K)|^{2/3} \cdot |\pi_{y}(K)|^{2/3}, \qquad K \subset \mathbb{H}.$$这里$\pi_{x}$和$\pi_{y}$分别是到$xt$-平面和$yt$-平面的垂直投影，$|\cdot|$指$\mathbb{H}$或其中某一平面上的自然Haar测度。最后，作为Loomis-Whitney不等式的推论，我们推导出$$\|f\|_{4/3} \lesssim \sqrt{\|Xf\| \|Yf\| }, \qquad f \in BV(\mathbb{H}),$$其中$X,Y$是$\mathbb{H}$中的标准水平向量场。这是经典几何Sobolev不等式$\|f\|_{4/3} \lesssim \|\nabla_{\mathbb{H}}f\|$对于$f \in BV(\mathbb{H})$的更尖锐版本。