三维空间中点与平面关联数的上界

我们证明了在特征 $p\neq 2$ 的任意域 $\mathbb F$ 上的射影空间 $\mathbb P^3$ 中点与平面的关联定理。关联被视为 Klein 二次曲面的两个规范线丛中一对二平面沿一条直线的交。Klein 二次曲面可以被一个一般超平面横截，产生一个三二次曲面中的线-线关联问题，即正则线丛的 Klein 像。这个超平面可以被选择使得至多两条线相交。因此，可以应用 Guth 和 Katz 的一个代数定理，如果 $p>0$ 则带有一个涉及 $p$ 的约束。这给出了 $\mathbb P^3$ 中 $m$ 个点和 $n$ 个平面之间关联数的界，其中 $m\geq n$，为 $$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$ 其中 $k$ 是共线平面的最大数量，前提是如果 $p>0$ 则 $n=O(p^2)$。例子表明，没有额外假设时这个界不能改进。这为当 $p>0$ 时建立几何关联估计提供了一种工具。对于非共线点集 $S\subseteq \mathbb F^2$ 和非退化对称或斜对称双线性型 $\omega$，$\omega$ 在 $S$ 的点对上的不同值的数量为 $\Omega\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是在 $\mathbb R$ 上已知的最佳界，它来自 Szemerédi-Trotter 定理。此外，一个不包含在单个半迷向平面中的点集 $S\subseteq \mathbb F^3$ 包含一个点，从该点到 $S$ 中其他点可以达到 $\Omega\left[\min\left(|S|^{\frac{1}{2}},p\right)\right]$ 个不同距离。