几何设定中避免诱导双分图时的关联数

给定点集$P$与区域集$\mathcal{O}$，关联是指满足$p \in o$的对$(p,o ) \in P \times \mathcal{O}$。我们在组合几何中的一个经典问题上获得若干新结果：关联数（在特定限制条件下）是多少？我们证明了$\mathbb{R}^d$中$n$个点与$n$个轴平行盒之间关联数的界$O\bigl( k n(\log n/\log\log n)^{d-1} \bigr)$，若不存在$k$个盒包含$k$个公共点，即点与盒之间的关联图不包含$K_{k,k}$作为子图。这一新界相比Basit、Chernikov、Starchenko、Tao与Tran (2021)的先前工作在$d >2$时改进了超过$\log^d n$的因子。此外，它与Chazelle (1990)工作所隐含的$k=2$时的下界匹配，从而解决了点与盒的问题。我们还研究了该问题的若干其他变体。对于半空间，利用浅割(shallow cuttings)，我们在二维与三维中得到线性界。我们还给出了具有低并集复杂度的形状（如伪圆盘与胖三角形）的线性（或近线性）界。