点与具有几乎两个自由度的曲线之间的关联

我们研究三维中点与代数曲线之间的关联，这些曲线取自一个具有几乎两个自由度的曲线族 $C$，其含义为：每条曲线对相交于 $O(1)$ 个点；对任意两点 $p$、$q$，仅有 $O(1)$ 条 $C$ 中的曲线同时经过这两点；且两点 $p$、$q$ 存在一条 $C$ 中曲线同时经过它们，当且仅当对某个多项式 $F$ 有 $F(p,q)=0$。我们研究两个具体实例，其一涉及经过某固定点的 $R^3$ 中单位圆（即所谓锚定单位圆），其二涉及有向点（点与方向）与平面中圆之间的相切；有向点与圆相切是指该点位于圆上且方向为切线方向。Ellenberg 等人的一个提升变换将这些相切映射到三维中点与曲线之间的关联。在这两个实例中，$R^3$ 中的曲线都具有几乎两个自由度。我们证明，$m$ 个点与 $n$ 个 $R^3$ 中锚定单位圆之间的关联数，以及 $m$ 个有向点与 $n$ 个平面任意圆之间的相切数，均为 $O(m^{3/5}n^{3/5}+m+n)$。对于更具一般性的 $R^3$ 中几乎两个自由度的曲线族，我们导出了类似的关联界，并带有若干附加项。证明遵循基于多项式分割的标准技术，但面临一个涉及被相应曲线族无限直纹化的曲面，以及在对偶 3D 空间中被相应 suitably 定义的对偶曲线无限直纹化的曲面的新问题。我们得到的一般界为 $O(m^{3/5}n^{3/5}+m+n)$ 加上依赖于多少条曲线或对偶曲线可位于无限直纹面上的附加项。