曲线相切与正交的新界限

我们建立了由曲线排列所确定的相切与正交交点数量的新界限。首先，给定一组 $n$ 条代数平面曲线，我们证明存在 $O(n^{3/2})$ 个点使得两条或更多曲线相切。特别地，如果没有三条曲线在公共点处相互相切，则存在 $O(n^{3/2})$ 个曲线-曲线相切。其次，给定一个代数平面曲线族以及该族中的 $n$ 条曲线集合，我们证明要么存在 $O(n^{3/2})$ 个点使得两条或更多曲线正交，要么该曲线族具有某些特殊性质。我们通过将平面曲线排列转化为空间曲线排列来获得这些界限，使得原平面曲线的相切（或正交）对应于空间曲线的相交。然后我们界定相应空间曲线相交的数量。对于曲线-曲线相切的情形，我们使用了一种多项式方法技巧，令人想起 Guth 和 Katz 对 joints 定理的证明。对于曲线正交相交的情形，我们采用 Guth 与第三作者的一项界限来控制空间曲线排列中二富点的数量。