三维空间中与曲线和曲面的关联及其在相异距离与重复距离问题中的应用

我们研究了 $\mathbb R^3$ 中涉及点与曲线或点与曲面的广泛关联问题谱系。当前（事实上也是唯一可行的）处理此类问题的方法由 Guth 和 Katz [2010,2015] 开创，需要借助代数几何中的多种工具，最显著的是 (i) 多项式划分技术，以及 (ii) 对由直线或（在更近期的研究 [Guth-Zahl 2016] 中）由某常数次代数曲线所直纹的代数曲面的研究。通过利用并改进这些工具，我们为 $\mathbb R^3$ 中的众多关联问题获得了新的、改进的界。概括而言，我们考虑两类问题：涉及点与常数次代数曲线的问题，以及涉及点与常数次代数曲面的问题。在某些变体中，我们假设点位于某个固定的常数次代数簇上，而在其他变体中，我们考虑三维空间中任意的点集。我们的结果为先前关于曲线和曲面的（特殊实例的）大多数研究提供了一个“宏大推广”。作为点-曲线关联界的一个应用，我们考虑了界定 $\mathbb R^3$ 中 $n$ 个点所构成的相似三角形数量的问题，并得到了界 $O(n^{15/7})$，从而改进了 Agarwal 等人 [2007] 的界。作为点-曲面关联界的应用，我们考虑了 $\mathbb R^3$ 中 $n$ 个点所确定的相异距离与重复距离问题，这是组合几何中最著名的两个开放问题。我们为两种特殊情况获得了新的、改进的界：一种是点位于某个常数次代数簇上，另一种涉及 $P_1\times P_2$ 中的点对之间的关联，其中 $P_1$ 包含在一个簇内，而 $P_2$ 是任意的。