曲面上的不同与重复距离及点与球之间的关联

在本文中，我们证明由$\mathbb R^3$中一个常次数二维代数簇$V$（即曲面）上$n$个点集所确定的不同距离的数量至少为$\Omega\left(n^{7/9}/{\rm polylog} \,n\right)$。该下界明显大于$\mathbb R^3$中一般点集的猜想下界$\Omega(n^{2/3})$。我们还证明，如上所述曲面$V$上$n$个点所确定的单位距离的数量为$O(n^{4/3})$，该上界与已知最佳平面界匹配，并且在三维空间中是最坏情况紧的。这与三维点的最佳已知一般界$O(n^{3/2})$形成鲜明对比。为了证明这些结果，我们建立了一个由$m$个点的点集$P$与$n$个任意半径的球集$S$在$\mathbb R^3$中关联数的改进上界，前提是这些点位于一个常次代数曲面$V$上，且$V$没有线性或球形分量。具体而言，该界为 $$O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_{c} |P_{c}|\cdot |S_{c}| \right) ,$$ 其中比例常数和常数指数$\beta$依赖于$V$的次数，且求和遍历完全包含在$V$中的所有圆$c$，使得对于每个这样的$c$，$P_c = P\cap c$且$S_c$是$S$中包含$c$的球的集合。此外，$\sum_{c} |P_{c}| = O(m)$且$\sum_{c} |S_{c}| = O(n)$。该界也改进了先前已知的界。那些界是针对任意点集但仅在关于球的严格限制下获得的，而我们的结果去掉了这些限制。我们结果的另一个有趣应用是三维空间中任意点与球的关联界，其中我们改进并推广了Apfelbaum和Sharir[AS]的先前工作。