$R^3$中二次曲线与正交曲线间的不同距离

我们研究$R^3$中两条曲线上点集之间不同距离的最小数目。设一条曲线含$m$个点，另一条含$n$个点。我们的主要结果：（a）当曲线为圆锥曲线时，我们刻画了距离数为$O(m+n)$的所有情形。这包括两条抛物线上、两个椭圆上以及一个椭圆与一条双曲线上点的新构造。在所有其他情形下，距离数为$\Omega(\min\{m^{2/3}n^{2/3},m^2,n^2\})$。（b）当曲线未必为代数曲线但光滑且位于相互垂直的平面内时，我们刻画了距离数为$O(m+n)$的所有情形。这包括涉及对数的非代数曲线的惊人新构造。在所有其他情形下，距离数为$\Omega(\min\{m^{2/3}n^{2/3},m^2,n^2\})$。