平面代数曲线上的不同距离

设 $P$ 为包含在次数为 $d$ 的代数曲线 $C$ 中的实平面内 $n$ 个点的集合。我们证明，除非 $C$ 包含直线或圆，否则由 $P$ 确定的不同距离的数量至少为 $c_d n^{4/3}$。我们还证明了位于一条不可约平面代数曲线上的 $m$ 个点与位于另一条曲线上的 $n$ 个点之间的不同距离数量的下界为 $c_d' \min(m^{2/3}n^{2/3}, m^2, n^2)$，除非这两条曲线是平行线、正交线或同心圆。这推广了 Sharir、Sheffer 和 Solymosi 在 arXiv:1302.3081 中关于直线间距离的结果。