代数曲线上双线性形式的不同取值

设 $B$ 为复平面上点对的双线性形式，形式为 $B(p,q) = p^TMq$，其中 $M$ 为可逆的 $2\times2$ 复矩阵。我们证明，除非曲线 $C$ 具有特殊形式，否则包含在 $\mathbb{C}^2$ 中次数为 $d$ 的不可约代数曲线 $C$ 内的任何有限点集 $S$，至少确定 $c_d|S|^{4/3}$ 个不同的 $B$ 值。这在多个方面加强了 Charalambides 的结果。证明基于 Pach 和 De Zeeuw 的工作，他们针对实平面上的欧几里得距离函数证明了类似的结论。本文的主要动机在于，对于双线性形式，这种方法更为自然，且应更易于理解和推广。