共线点集与任意点集之间的不同距离

我们考虑在 ${\bf R}^k$ 中两个有限点集之间的不同距离数量，对于任意常数维数 $k\ge 2$，其中一个集合 $P_1$ 由直线 $l$ 上的 $n$ 个点组成，另一个集合 $P_2$ 由 $m$ 个任意点组成，使得没有垂直于 $l$ 的超平面且没有以 $l$ 为轴的超圆柱包含多于 $O(1)$ 个 $P_2$ 的点。那么 $P_1$ 与 $P_2$ 之间的不同距离数量为 $$\Omega\left(\min\left\{ n^{2/3}m^{2/3},\; \frac{n^{10/11}m^{4/11}}{\log^{2/11}m},\; n^2,\; m^2\right\}\right) .$$ 若无关于 $P_2$ 的假设，则存在如上所述的集合 $P_1$、$P_2$，它们之间仅有 $O(m+n)$ 个不同距离。