关于 Erdős 距离与点集问题的解答

1997 年，Erdős 提出疑问：对于任意大的 $n$，是否存在 $\mathbb{R}^2$ 中的 $n$ 个点构成的集合，它确定 $O(\frac{n}{\sqrt{\log n}})$ 个不同距离，同时满足局部约束，即每个 4 点子集至少确定 3 个不同的成对距离。我们从格 $L = \{(x,\sqrt{2}y):x,y \in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{R}^2$ 的 $m\times m$ 方块中构造 $n$ 点集合。不同距离的界限来自于将 Bernays 定理应用于二元二次型 $u^2 + 2v^2$ 所表示的整数个数。局部 4 点约束通过 Perucca 对恰好确定两个距离的六种相似类型的相似性分类得到验证。