摆弄格点：Erdős 距离问题的新视角

Erdős 距离问题关注平面上 $N$ 个点所能确定的最少不同距离数。含 $N$ 个点的整数格点被称为\textit{近最优}的，因为它张成 $\Theta(N/\sqrt{\log(N)})$ 个不同距离，这是 $N$ 个点集合的下界（Erdős, 1946）。此前与 Erdős 距离问题相关的唯一非渐近工作针对 $N \leq 13$。我们在一个模型情形中对此问题采取一种新的非渐近方法，研究 $N\times N$ 整数格点的距离分布，亦即各距离出现频率的图示。为完整刻画该分布，我们改编了 Fermat 与 Erdős 先前的数论结果，以将格点上给定距离的频率与平方和公式相关联。我们研究了该格点所有可能子集的距离分布；尽管这是受限情形，整数格点的结构允许存在可被选出的子集，其距离分布具有某些性质，例如对某些小子集模拟随机分布点集的分布，或模拟更大格点自身的分布。我们定义了一种误差，用于比较子集与完整格点的距离分布。整数格点的结构使我们能够取具有某些几何性质的子集以最大化误差；我们显式地给出了这些几何构造。进一步，我们计算了当子集中点数为 $4$、$5$、$9$ 或 $\left \lceil N^2/2\right\rceil$ 时误差的显式上界，并证明了小点数情形下的一个下界。