素数域平面上 Erdős 不同距离问题的一个新界

在本文中，我们获得了素数域平面上 Erdős 不同距离问题的一个新下界。更确切地说，我们证明对任意集合 $A\subset \mathbb{F}_p^2$ 且 $|A|\le p^{7/6}$，由 $A$ 中点对确定的不同距离数满足 $$|\Delta(A)| \gg |A|^{\frac{1}{2}+\frac{149}{4214}}.$$ 我们的结果在 $|A|\le p^{1+\frac{149}{4065}}$ 范围内给出了 $|\Delta{(A)}|$ 的新下界。我们所采用的主要工具包括 Rudnev 与 Shkredov 提出的抛物面上集合的能量、Stevens 与 de Zeeuw 给出的点线关联界，以及 $\mathbb{F}_p^2$ 中一条直线与一个集合之间不同距离数的下界。后者是使我们改进 Stevens 与 de Zeeuw 先前界的新要素。